Trigonometri

Problem:Buktikan bahwa $$begin{aligned}tan ntheta &=frac{displaystylebinom{n}{1} tan theta – binom{n}{3} tan^3theta+cdots}{displaystyle1-binom{n}{2} tan^2theta+cdots}end{aligned}$$ Solusi:Dengan menggunakan De Moivre’s Theorem $e^{(itheta)n}=e^{i(ntheta)}=cosleft(nthetaright)+isinleft(nthetaright)$. Sementara itu, $e^{(itheta)n}=left(costheta+isinthetaright)^n$. Sehingga bisa kita tuliskan$$begin{aligned}cosleft(nthetaright)+isinleft(nthetaright)&=sum_{k=0}^nbinom{n}{k}i^kcos^{n-k}thetasin^kthetaend{aligned}$$Tetapi kita tahu bahwa $i^2=-1$ dan $i^3=-i$. Sehingga bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi $$begin{aligned}cosleft(nthetaright)+isinleft(nthetaright)&=sum_{k=0}^nbinom{n}{2k}(-1)^kcos^{n-2k}thetasin^{2k}theta+sum_{k=0}^nbinom{n}{2k+1}(i)^{2k+1}cos^{n-2k-1}thetasin^{2k+1}thetaend{aligned}$$Dengan memisahkan antara nilai Real dan Imaginer pada bentuk di atas, diperoleh:$$cos(ntheta)=sum_{k=0}^nbinom{n}{2k}(-1)^kcos^{n-2k}thetasin^{2k}theta$$$$sin(ntheta)=sum_{k=0}^nbinom{n}{2k+1}(-1)^kcos^{n-2k-1}thetasin^{2k+1}theta$$Selanjutnya, kita tahu bahwa $displaystyletan(ntheta)=frac{sin(ntheta)}{cos(ntheta)}$. Sehingga bentuk di atas …

Read more