Problem – Tangen sudut rangkap

Problem:Buktikan bahwa $$begin{aligned}tan ntheta &=frac{displaystylebinom{n}{1} tan theta – binom{n}{3} tan^3theta+cdots}{displaystyle1-binom{n}{2} tan^2theta+cdots}end{aligned}$$ Solusi:Dengan menggunakan De Moivre’s Theorem $e^{(itheta)n}=e^{i(ntheta)}=cosleft(nthetaright)+isinleft(nthetaright)$. Sementara itu, $e^{(itheta)n}=left(costheta+isinthetaright)^n$. Sehingga bisa kita tuliskan$$begin{aligned}cosleft(nthetaright)+isinleft(nthetaright)&=sum_{k=0}^nbinom{n}{k}i^kcos^{n-k}thetasin^kthetaend{aligned}$$Tetapi kita tahu bahwa $i^2=-1$ dan $i^3=-i$. Sehingga bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi $$begin{aligned}cosleft(nthetaright)+isinleft(nthetaright)&=sum_{k=0}^nbinom{n}{2k}(-1)^kcos^{n-2k}thetasin^{2k}theta+sum_{k=0}^nbinom{n}{2k+1}(i)^{2k+1}cos^{n-2k-1}thetasin^{2k+1}thetaend{aligned}$$Dengan memisahkan antara nilai Real dan Imaginer pada bentuk di atas, diperoleh:$$cos(ntheta)=sum_{k=0}^nbinom{n}{2k}(-1)^kcos^{n-2k}thetasin^{2k}theta$$$$sin(ntheta)=sum_{k=0}^nbinom{n}{2k+1}(-1)^kcos^{n-2k-1}thetasin^{2k+1}theta$$Selanjutnya, kita tahu bahwa $displaystyletan(ntheta)=frac{sin(ntheta)}{cos(ntheta)}$. Sehingga bentuk di atas …

Read more

Mencari Luas Segiempat Talibusur Menggunakan Rumus Brahmagupta

Sekitar abad ke tujuh Masehi, dalam Geometri Euclidean,  Brahmagupta, seorang matematikawan asal India menemukan Rumus untuk mencari luas segiempat talibusur yang telah diketahui panjang sisi-sisinya dan beberapa sudutnya. Rumus Umum Jika diketahui segiempat talibusur memiliki sisi-sisi $a$, $b$, $c$, dan $d$ serta setengah keliling $s$, maka luas segiempat tali busur $K$ dapat dinyatakan dengan $$K^2 …

Read more