Dalil L’Hôpital ~ Matematika SMA

  Dalil L’Hôpital (baca: Lopi’tal, juga kadang-kadang dieja L’Hospital dengan “s” yang dibaca sunyi, di mana dalam ejaan Prancis, hal tersebut digantikan dengan tanda sirkumfleksa di atas huruf vokal sebelumnya) diambil dari nama seorang bangsawan Prancis yang sekaligus matematikawan, Guillaume François Antoine, Marquis de l’Hôpital (1661 – 2 Pebruari 1704) Namanya diabadikan di dalam suatu …

Read more

Limit Fungsi Trigonometri ~ Matematika SMA

Dalam limit fungsi aljabar, kita tahu bahwa untuk suatu $f(a)=\dfrac{0}{0}$ dapat dicari dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebut $f(x)$ sehingga dapat disederhanakan, atau dengan mengalikan sekawan dari fungsi tersebut. Namun, sifat tersebut tidak berlaku pada $f(x)=\sin x / x$? meski $f(0)$ memiliki bentuk tak tentu. Nah, untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri, dapat menggunakan bentuk …

Read more

Teorema Limit ~ Matematika SMA

Sebelumnya kita mengetahui bahwa, jika $f(a)$ terdefinisi, maka $displaystylelim_{xto a}f(x) = f(a)$. Dari sini, dapat dikembangkan menjadi beberapa teorema seperti berikut. Teorema Misalkan $n$ merupakan bilangan asli, $k$ konstanta, serta $f$ dan $g$ fungsi-fungsi yang mempunyai limit di $a$, maka $displaystylelim_{xto a}k = k$Contoh:$displaystylelim_{xto5}3 = 3$ $displaystylelim_{xto a}kf(x) = klim_{xto a}f(x)$Contoh:$displaystylelim_{xto 2}5(x+7)= 5lim_{xto 2}(x+7)=5(9)=45$ $displaystylelim_{xto …

Read more

Limit Tak Hingga ~ Matematika SMA

Pernahkah kita memikirkan, bagaimana jika seandainya sepotong roti dibagikan kepada seluruh penduduk di dunia? Seberapa besar potongan roti yang kita dapat? Cukup kecil, bahkan sangat kecil, bisa juga kita menganggapnya hampir tak ada potongan roti yang kita dapat. Bagaimana jika seandainya penduduk bumi ini ada takhingga jumlahnya? seberapa besar potongan roti yang kita terima? Nah, …

Read more

Limit Fungsi Aljabar ~ Matematika SMA

Sifat Berikut ini beberapa sifat yang harus diketahui mengenai limit fungsi aljabar. Misalkan $f(a)$ terdefinisi, maka nilai $displaystylelim_{xto a} f(x)=f(a)$Contoh:$displaystylelim_{xto6} 5x-11 = 5(6)-11=19$ Jika $displaystyle f(a)=frac{0}{0}$ (tak tentu), maka nilai $displaystylelim_{xto a} f(x)$ diselesaikan dengan operasi aljabar Memfaktorkan pembilang dan penyebut $f(x)$ dengan faktor $(x-a)$ sehingga dapat disederhanakan.Contoh:$begin{aligned}lim_{xto3} frac{x^2-7x+12}{x^2-9}&=lim_{xto3} frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)(x+3)}\&=lim_{xto3} frac{x-4}{x+3}\&=frac{3-4}{3+3}\&=-frac{1}{6}end{aligned}$ Mengalikan pembilang dan penyebut …

Read more

Pengenalan Limit ~ Matematika SMA

Pengertian Misalkan suatu fungsi $f(x)$ didefinisikan di sekitar $x=a$, maka$$lim_{xto a}f(x)=L$$diartikan untuk $x$ mendekati $a$ mengakibatkan fungsi $f(x)$ mendekati $L$. Contoh: Jika $f(x)=2x+1$, tentukan nilai $displaystylelim_{xto0}f(x)$ Solusi: Perhatikan tabel berikut! $x$ $f(x)=2x+1$ $x$ $f(x)=2x+1$ 1 3 -1 -1 0,1 1,2 -0,1 0,8 0,01 1,02 -0,01 0,98 0,001 1,002 -0,001 0,998 0,0001 1.0002 -0,0001 0,9998 0,0000000001 …

Read more

Problem – Nilai Maksimum fungsi Trigonometri

Problem:Tentukan nilai maksimum dari$$y=5- frac{15}{4cos x – 2sqrt{5}sin x +9}$$ Solusi:Perhatikan bahwa $4cos x – 2sqrt{5}sin x$ dapat disederhanakan menjadi:$$begin{aligned}4cos x – 2sqrt{5}sin x&=left(sqrt{16+20}right)left(cosalphacos x – sinalphasin xright)quad alpha=arctan{frac{sqrt{5}}{2}}\&=6cos(x+alpha)end{aligned}$$Sehingga soal di atas dapat disederhanakan menjadi:$$y=5-frac{15}{6cos(x+alpha)+9}$$Agar nilai $y$ maksimum, haruslah $displaystyle frac{15}{6cos(x+alpha)+9}$ minimum. Yang berarti bahwa nilai $cos(x+alpha)$ mencapai maksimum, yakni $= 1$. Sehingga Nilai maksimum …

Read more

Eksponen ~ Matematika SMA

Pengertian Secara umum Eksponen dapat dinyatakan sebagai berikut:$$a^n=atimes atimes atimes cdots times a$$, untuk $n$ bilangan bulat positif. Contoh $2^3=2times2times2=8$ Sifat-Sifat Eksponen Untuk $a,bintextbf{R}$ berlaku: $a^m.a^n=a^{m+n}$ $frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ $left(a^mright)^n=a^{mn}$ $displaystylefrac{1}{a^m}=a^{-m}$ $a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^m}$ $a^m.b^m=left(abright)^m$ $displaystylefrac{a^m}{b^m}=left(frac{a}{b}right)^m$ $a^0=1,quad ane0$ $1^m=1$ Contoh Bentuk sederhana dari $displaystylefrac{x^5-x^3}{(x+1)^2}$ adalah …. Solusi $begin{aligned}frac{x^5-x^3}{(x+1)^2}&=frac{x^3(x^2-1)}{(x+1)^2}\&=frac{x^3(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)}\&=frac{x^3(x-1)}{x+1}end{aligned}$ Latihan Soal Tentukan Nilai $k$ yang memenuhi $x^a(x^{a+1})^a(x^a)^{1-a}=x^{k-1}$ Selamat Mencoba!

Integral Tak Tentu ~ Matematika SMA

Pada materi Turunan/diferensial, kita telah mengetahui bahwa:$$begin{aligned}f(x)=x^2+5xquad&Rightarrowquad f'(x)=2x+5\f(x)=x^2+5x+2quad&Rightarrowquad f'(x)=2x+5\f(x)=x^2+5x+9quad&Rightarrowquad f'(x)=2x+5\f(x)=x^2+5x+Cquad&Rightarrowquad f'(x)=2x+5end{aligned}$$Berapapun nilai $C$ yang kita berikan pada suatu fungsi $f(x)$ akan tetap menghasilkan turunan/diferensial yang sama. Sehingga anti-turunan dari fungsi $f'(x)=2x+5$ dapat dinyatakan dalam bentuk:$$f(x)=int f'(x)dx=int 2x+5dx = x^2+5x+C$$ Notasi Secara umum dapat kita tuliskan$$int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1}+C,quad nneq-1$$ Sifat Sifat-sifat Integral tak tentu: $int …

Read more