Problem – Solusi

Problem – Nilai Maksimum fungsi Trigonometri

oleh

Problem:Tentukan nilai maksimum dari$$y=5- frac{15}{4cos x – 2sqrt{5}sin x +9}$$ Solusi:Perhatikan bahwa $4cos x – 2sqrt{5}sin x$ dapat disederhanakan menjadi:$$begin{aligned}4cos x – 2sqrt{5}sin x&=left(sqrt{16+20}right)left(cosalphacos x – sinalphasin xright)quad alpha=arctan{frac{sqrt{5}}{2}}\&=6cos(x+alpha)end{aligned}$$Sehingga soal di atas dapat disederhanakan menjadi:$$y=5-frac{15}{6cos(x+alpha)+9}$$Agar nilai $y$ maksimum, haruslah $displaystyle frac{15}{6cos(x+alpha)+9}$ minimum. Yang berarti bahwa nilai $cos(x+alpha)$ mencapai maksimum, yakni $= 1$. Sehingga Nilai maksimum …

Read more

Problem – Tangen sudut rangkap

oleh

Problem:Buktikan bahwa $$begin{aligned}tan ntheta &=frac{displaystylebinom{n}{1} tan theta – binom{n}{3} tan^3theta+cdots}{displaystyle1-binom{n}{2} tan^2theta+cdots}end{aligned}$$ Solusi:Dengan menggunakan De Moivre’s Theorem $e^{(itheta)n}=e^{i(ntheta)}=cosleft(nthetaright)+isinleft(nthetaright)$. Sementara itu, $e^{(itheta)n}=left(costheta+isinthetaright)^n$. Sehingga bisa kita tuliskan$$begin{aligned}cosleft(nthetaright)+isinleft(nthetaright)&=sum_{k=0}^nbinom{n}{k}i^kcos^{n-k}thetasin^kthetaend{aligned}$$Tetapi kita tahu bahwa $i^2=-1$ dan $i^3=-i$. Sehingga bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi $$begin{aligned}cosleft(nthetaright)+isinleft(nthetaright)&=sum_{k=0}^nbinom{n}{2k}(-1)^kcos^{n-2k}thetasin^{2k}theta+sum_{k=0}^nbinom{n}{2k+1}(i)^{2k+1}cos^{n-2k-1}thetasin^{2k+1}thetaend{aligned}$$Dengan memisahkan antara nilai Real dan Imaginer pada bentuk di atas, diperoleh:$$cos(ntheta)=sum_{k=0}^nbinom{n}{2k}(-1)^kcos^{n-2k}thetasin^{2k}theta$$$$sin(ntheta)=sum_{k=0}^nbinom{n}{2k+1}(-1)^kcos^{n-2k-1}thetasin^{2k+1}theta$$Selanjutnya, kita tahu bahwa $displaystyletan(ntheta)=frac{sin(ntheta)}{cos(ntheta)}$. Sehingga bentuk di atas …

Read more

Problem – Integral Khusus

oleh

Problem: Misalkan $f$ dan $g$ adalah fungsi kontinyu pada $[0,a]$, dan misalkan pula $f(x)=f(a-x)$ dan $g(x)+g(a-x)=k$ untuk semua $x$ pada $[0,a]$. Buktikan bahwa $$int_0^a f(x)g(x)dx=frac{1}{2}kint_0^a f(x)dx$$ Solusi:Sebut saja $$I=int_0^a f(x)g(x)dx$$ Dengan sedikit modifikasi $y=a-x$, didapat $dy=-dx$. dan $x=a-y$ dan$$ begin{aligned} I&=int_0^a f(x)g(x)dx\ &=int_{a-0}^{a-a} f(a-y)g(a-y)dx\ &=int_a^0 f(a-y)g(a-y)(-dy)\ &=int_0^a f(a-y)g(a-y)dy\ &=int_0^a f(a-x)g(a-x)dx\ end{aligned}$$ Sementara itu $f(a-x)=f(x)$ dan $g(a-x)=k-g(x)$. …

Read more

Problem – $w$ dan $\dfrac{1}{w}$

oleh

Problem: Tentukan semua solusi real $x$, $y$, $z$, $w$ pada sistem: \begin{eqnarray*} x+y+z&=&w\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}&=&\frac{1}{w} \end{eqnarray*} Solusi: Samakan penyebut pada persamaan ke dua diperoleh: $$\dfrac{yz+xz+xy}{xyz}=\dfrac{1}{w}$$ dengan mengalikan silang kemudian substitusi persamaan pertama pada $w$, didapat: $$(x+y+z)(yz+xz+xy)=xyz$$ yang ekuivalen dengan $$x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y+2xyz=0$$ dan dapat disederhanakan menjadi: $$(x+y)(x+z)(y+z)=0$$ dari sini dapat kita ambil solusinya (sebut saja $y+z=0$, $y=-z$) dan …

Read more

Problem – Pangkat Bertingkat tiga

oleh

Problem: Diketahui bahwa $x$ merupakan bilangan real yang memenuhi:$$x^{x^{x^{2013}}}=2013$$Tentukan nilai $x$ Solusi:Misalkan $y=x^{x^{2013}}$, maka $x^y=2013$ atau $x=2013^{1/y}$. Substitusikan kembali ke $y$ didapat:$$ begin{aligned}y&=x^{x^{2013}}\y&=left(2013^{1/y}right)^{{left(2013^{1/y}right)}^{2013}}\y&=left(2013right)^{left(frac{2013}{y}right)^{left(frac{2013}{y}right)}}\y^{left(frac{y}{2013}right)}&=2013^{left(frac{2013}{y}right)}\y^{y^y}&=2013^{2013^{2013}}\y&=2013end{aligned} $$Dengan demikian, $displaystyle x=2013^{frac{1}{2013}}$

Problem Ineks

oleh

Problem:Jika $a,b,c$ bilangan real positif, buktikan bahwa :$$frac{a}{b^2 + c^2 + d^2} +frac{ b}{a^2 + c^2 + d^2} + frac{c}{a^2 + b^2 + d^2} + frac{d}{a^2 + b^2 + c^2} ge frac{4}{a+b+c+d}$$ Solusi:Dengan mengaplikasikan CS Inequality, didapat:$$(a+b+c+d)left(sum_{cyc}frac{a}{b^2+c^2+d^2}right)geleft(sum_{cyc}sqrt{frac{a^2}{b^2+c^2+d^2}}right)^2$$akan tetapi berdasarkan AM-GM, didapat:$$sqrt{frac{b^2+c^2+d^2}{a^2}} le frac{1}{2}left(frac{b^2+c^2+d^2}{a^2}+1right)=frac{1}{2}left(frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a^2}right)$$sehingga:$$left(sum_{cyc}sqrt{frac{a^2}{b^2+c^2+d^2}}right)^2geleft(sum_{cyc}frac{2a^2}{a^2+b^2+c^2+d^2}right)^2=2^2$$dengan demikian$$begin{aligned}(a+b+c+d)left(sum_{cyc}frac{a}{b^2+c^2+d^2}right)&ge4\left(sum_{cyc}frac{a}{b^2+c^2+d^2}right)&gefrac{4}{(a+b+c+d)}end{aligned}$$

Problem – Jumlah Barisan Repunit

oleh

Problem: Jika diketahui $B_n$ merupakan bilangan yang terdiri dari angka 1 sebanyak $n$. Misal $B_3=111$, $B_7=1111111$. Tentukan nilai dari$$lim_{ntoinfty}  sum_{k=1}^n frac{B_k}{10^n}$$ Solusi:Perhatikan bahwa $displaystyle B_k=111…111 = frac{10^k-1}{9}$sehingga:$$begin{aligned}lim_{ntoinfty}  sum_{k=1}^n frac{B_k}{10^n} & = lim_{ntoinfty}  sum_{k=1}^n frac{10^k-1}{9cdot10^n}\&= lim_{ntoinfty}  frac{1}{9}left(sum_{k=1}^n frac{10^k}{10^n}-sum_{k=1}^n frac{1}{10^n}right)\&= lim_{ntoinfty}  frac{1}{9}left(sum_{k=1}^n frac{1}{10^{n-k}}- frac{n}{10^n}right)\&= lim_{ntoinfty}  frac{1}{9}left(sum_{m=0}^n frac{1}{10^{m}}- frac{n}{10^n}right)\&= lim_{ntoinfty}  frac{1}{9}left(frac{1left(1-frac{1}{10^n}right)}{1-frac{1}{10}}- frac{n}{10^n}right)\&=frac{1}{9}cdotfrac{10}{9}-lim_{ntoinfty}frac{n}{9cdot10^n}\&=frac{10}{81}end{aligned}$$

Problem – Integral Arctan

oleh

Problem:Hitunglah$$int_0^infty frac{arctan{pi x}-arctan{x}}{x}dx$$ Solusi:Misalkan $displaystyle F(a)=int_0^infty frac{arctan{a x}-arctan{x}}{x}dx$, dan $F(1)=0$. Maka $$F'(a)=int_0^infty frac{dx}{1+(ax)^2}dx=frac{pi}{2a}$$Dengan demikian,$$F(a)=int frac{pi}{2a}da=frac{pi}{2}ln{a}+C$$Karena $F(1)=0$, maka $C=0$, sehingga$$int_0^infty frac{arctan{pi x}-arctan{x}}{x}dx=F(pi)=frac{pi}{2}ln{pi}$$