Dalil L’Hôpital ~ Matematika SMA

  Guillaume de l'Hpital
Dalil L’Hôpital (baca: Lopi’tal, juga kadang-kadang dieja L’Hospital dengan “s” yang dibaca sunyi, di mana dalam ejaan Prancis, hal tersebut digantikan dengan tanda sirkumfleksa di atas huruf vokal sebelumnya) diambil dari nama seorang bangsawan Prancis yang sekaligus matematikawan, Guillaume François Antoine, Marquis de l’Hôpital (1661 – 2 Pebruari 1704) Namanya diabadikan di dalam suatu hasil yang dikenal dengan nama aturan l’Hôpital untuk memecahkan perhitungan yang berkaitan dengan format yang tak menentu $0/0$ dan $infty/infty$. Walaupun sebenarnya aturan tersebut tidak berasal dari l’Hôpital, (diduga kuat aturan ini dari matematikawan Jacob Bernoulli) aturan ini tercetak untuk pertama kalinya di dalam bukunya yang berjudul Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes. Edisi buku tersebut juga tercetak dalam beberapa bahasa asing dan menjadi salah satu model dalam perhitungan kalkulus.
Bagaimanakah Aturan/Dalil l’Hôpital tersebut? kita simak materi berikut ini.

Dalil L’Hôpital

Untuk suatu fungsi $f$ dan $g$, jika $displaystylelim_{xto a} f(x)=lim_{xto a} g(x)=0$ atau $pm infty$ dan $displaystylefrac{lim_{xto a} f'(x)}{lim_{xto a}g'(x)}$ ada, maka:
$$lim_{xto a}frac{ f(x)}{g(x)} = lim_{xto a}frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Bukti Spesial

Bukti spesial untuk kasus $displaystylelim_{xto a} f(x)=lim_{xto a} g(x)=0$, maka
$$begin{aligned}lim_{xto a}frac{f(x)}{g(x)}&= lim_{xto a}frac{f(x)-0}{g(x)-0}\& = lim_{xto a}frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\& = lim_{xto a}frac{left(frac{f(x)-f(a)}{x-a}right)}{left(frac{g(x)-g(a)}{x-a}right)}\& =frac{lim_{xto a}left(frac{f(x)-f(a)}{x-a}right)}{lim_{xto a}left(frac{g(x)-g(a}{x-a}right)}\&= frac{f'(a)}{g'(a)}\& = lim_{xto a}frac{f'(x)}{g'(x)}end{aligned}$$

Contoh

$displaystylelim_{x to 0} frac{sin x}{x} = lim_{x to 0} frac{cos x}{1} = frac{cos 0}{1} = 1$

Catatan

  • Dalil L’Hôpital dapat digunakan berkali-kali selama limit tersebut masih memiliki bentuk tak tentu. Misal $displaystyle lim_{xto 0} frac{cos3x}{4x^2} = lim_{xto 0} frac{-3sin 3x}{8x} = lim_{xto 0} frac{-9 cos 3x}{8} = frac{-9}{8}$
  • Untuk limit fungsi aljabar yang banyak menggunakan tanda akar, akan lebih sulit mengaplikasikan dalil ini, sebaiknya gunakan perkalian sekawan, itu lebih baik.

Nah, mudah kan, sebagai latihan, bisa dicoba soal-soal berikut

Latihan Soal

  1. $displaystyle lim_{xto0} frac{-x^2}{1-cos x}$
  2. $displaystyle lim_{xto0} frac{1-cos x}{2xsin3x}$
  3. $displaystyle lim_{xto0} frac{2^x-1}{x-1}$ (Ingat: turunan fungsi dari $a^x$ adalah $ln{a}.a^x$)
  4. $displaystyle lim_{xto 5} frac{xsqrt{x}-5sqrt{5}}{sqrt{x} – sqrt{5}}$ (Substitusi $y=sqrt{x}$, sehingga $ytosqrt{5}$ lalu gunakan l’Hopital)

Sementara itu dulu. Jika ada pertanyaan bisa ditanyakan di komentar
Selamat Belajar

 

Referensi:

  1. Guillaume de l’Hôpital, Marquis de l’Hôpital – Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

 

Tinggalkan komentar

%d blogger menyukai ini: