Dalil L’Hôpital
Untuk suatu fungsi $f$ dan $g$, jika $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0$ atau $\pm \infty$ dan $\displaystyle\dfrac{\lim_{x\to a} f'(x)}{\lim_{x\to a}g'(x)}$ ada, maka:
$$\lim_{x\to a}\frac{ f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
Bukti Spesial
Bukti spesial untuk kasus $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0$, maka
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}&=& \lim_{x\to a}\frac{f(x)-0}{g(x)-0}\\
&=& \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\\
&=& \lim_{x\to a}\frac{\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)}{\left(\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\right)}\\
&=& \dfrac{\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}\\
&=& \frac{f'(a)}{g'(a)}\\
&=& \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
\end{eqnarray*}
Contoh Soal
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos 0}{1} = 1$
Catatan
- Dalil L’Hôpital dapat digunakan berkali-kali selama limit tersebut masih memiliki bentuk tak tentu. Misal $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\cos3x}{4x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-3\sin 3x}{8x} = \lim_{x\to 0} \frac{-9 \cos 3x}{8} = \frac{-9}{8}$
- Untuk limit fungsi aljabar yang banyak menggunakan tanda akar, akan lebih sulit mengaplikasikan dalil ini, sebaiknya gunakan perkalian sekawan, itu lebih baik.
Nah, mudah kan, sebagai latihan, bisa dicoba soal-soal berikut
Latihan Soal
- $\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{-x^2}{1-\cos x}$
- $\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{2x\sin3x}$
- $\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{2^x-1}{x-1}$ (Ingat: turunan fungsi dari $a^x$ adalah $\ln{a}.a^x$)
- $\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{x\sqrt{x}-5\sqrt{5}}{\sqrt{x} – \sqrt{5}}$ (Substitusi $y=\sqrt{x}$, sehingga $y\to\sqrt{5}$ lalu gunakan l’Hopital)
Sementara itu dulu. Jika ada pertanyaan bisa ditanyakan di komentar
Selamat Belajar
Referensi: