Limit Fungsi Trigonometri ~ Matematika SMA

Dalam limit fungsi aljabar, kita tahu bahwa untuk suatu $f(a)=\dfrac{0}{0}$ dapat dicari dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebut $f(x)$ sehingga dapat disederhanakan, atau dengan mengalikan sekawan dari fungsi tersebut. Namun, sifat tersebut tidak berlaku pada $f(x)=\sin x / x$? meski $f(0)$ memiliki bentuk tak tentu. Nah, untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri, dapat menggunakan bentuk berikut.

Rumus Dasar

Pada dasarnya untuk menyelesaikan suatu limit fungsi trigonometri, digunakan rumus berikut
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to0}\frac{sin x}{x}&= 1\\
\lim_{x\to0}\frac{x}{sin x}&= 1\\
\lim_{x\to0}\frac{tan x}{x}&= 1\\
\lim_{x\to0}\frac{x}{tan x}&=1
\end{eqnarray*}

Bukti

Perhatikan gambar lingkaran berikut ini!

dari gambar tersebut, kita tahu bahwa $L_{\triangle OAB} < L_{\text{juring }OAC} <L_{\triangle ODC}$.
Sementara itu, $\triangle OAB \sim \triangle ODC$ sehingga
$$\frac{OB}{OA}=\cos x =\frac{OD}{OC}$$ dan $$\frac{AB}{OB}=\tan x = \frac{DC}{OC}$$
karena $OA=OC=1$ dengan menyelesaikan ruas kiri dan tengah, didapat:
$$\frac{OB}{1}= \cos x \Leftrightarrow OB=\cos x$$
dan
$$\frac{AB}{OB}= \tan x \Leftrightarrow AB = \tan x (OB) = \frac{\sin x}{\cos x}\cos x = \sin x$$
dengan cara yang sama untuk ruas kanan dan tengah diperoleh $DC=\tan x$.

Kembali ke sebelumnya, bahwa $L_{\triangle OAB} < L_{\text{juring }OAC} <L_{\triangle ODC}$ mengakibatkan

\begin{eqnarray*}
L_{\triangle OAB} <& L_{\text{juring }OAC} &< L_{\triangle ODC}\\
\frac{1}{2}OB\times AB <& \frac{x}{2\pi}\pi OA^2 &< \frac{1}{2}OC\times DC\\
\frac{\cos x \sin x}{2} <& \frac{x (1)^2}{2} &< \frac{\tan x}{2}\\
\cos x \sin x < &x &< \frac{\sin x}{\cos x}\\
\cos x <&\frac{x}{\sin x} &< \frac{1}{\cos x}
\end{eqnarray*}

Bentuk di atas jika kita ambil limit $x\to 0$ maka:

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to0}\cos x &<& \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x} &<& \lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}\\
1 & <& \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x} &<& 1
\end{eqnarray*}

Berdasarkan Teorema Apit, maka kita peroleh $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1$.
Jika kita balik, kita akan peroleh

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x} &>&\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} > \lim_{x\to0}\cos x\\
1 &>&\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} &>& 1
\end{eqnarray*}

yang juga mengakibatkan $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$.
Kalikan kedua ruas dengan $1/\cos x$ maka akan menghasilkan $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$.
Misalkan $u=ax$ untuk $a$ suatu bilangan real, jelas bahwa $displaystylelim_{uto0}frac{sin u}{u}=1$ atau
$$lim_{axto0}frac{sin ax}{ax}=1$$
Jika kita kalikan kedua ruas dengan $displaystylefrac{ax}{bx}$ maka:
$$
begin{aligned}
lim_{axto0}frac{sin ax}{ax}cdotfrac{ax}{bx} &=1cdotfrac{ax}{bx}\
lim_{axto}frac{sin ax}{bx} cdotfrac{ax}{ax} &= frac{a}{b}\
lim_{axto}frac{sin ax}{bx}  &= frac{a}{b}end{aligned}$$
karena $ax to 0$ maka $xto 0$. Dengan demikian
$$lim_{xto 0} frac{sin ax}{bx}=frac{a}{b}$$
Selengkapnya dapat dilihat pada bentuk-bentuk di bawah ini.

Rumus-rumus Lainnya

Dari rumus dasar limit fungsi trigonometri di atas, dapat digeneralisasikan menjadi

1. $displaystylelim_{xto0}frac{sin ax}{bx}=lim_{xto0}frac{ax}{sin bx}=frac{a}{b}$
2. $displaystylelim_{xto0}frac{tan ax}{bx}=lim_{xto0}frac{ax}{tan bx}=frac{a}{b}$
3. $displaystylelim_{xto p}frac{sin a(x-p)}{b(x-p)}=lim_{xto p}frac{a(x-p)}{sin b(x-p)}=frac{a}{b}$
4. $displaystylelim_{xto p}frac{tan a(x-p)}{b(x-p)}=lim_{xto p}frac{a(x-p)}{tan b(x-p)}=frac{a}{b}$

Untuk pembuktiannya bisa dicoba sendiri oleh pembaca.

 

Contoh Soal

Selesaikanlah bentuk-bentuk limit berikut!

1. $displaystylelim_{xto0}frac{sin 3x}{tan 5x}$.
2. $displaystylelim_{xto0}frac{sin x}{5xcos2x}$.

Solusi

1. $begin{aligned}
   lim_{xto0}frac{sin 3x}{5x}&=lim_{xto0}frac{sin3x}{5x}cdotfrac{3x}{3x}\
   &=lim_{xto0}frac{sin 3x}{3x}cdotfrac{3x}{5x}\
   &=lim_{xto0}frac{sin 3x}{3x}cdotlim_{xto0}frac{3}{5}\
   &=1timesfrac{3}{5}\
   &=frac{3}{5}
   end{aligned}$
2. $begin{aligned}
   lim_{xto0}frac{sin x}{5xcos 2x}&=lim_{xto0}frac{sin3x}{5x}cdotfrac{x}{x}cdotfrac{1}{cos x}\
   &=lim_{xto0}frac{sin x}{x}cdotfrac{x}{5x}cdotfrac{1}{cos x}\
   &=lim_{xto0}frac{sin x}{x}cdotlim_{xto0}frac{3}{5}cdotlim_{xto0}frac{1}{cos x}\
   &=1timesfrac{3}{5}times 1\
   &=frac{3}{5}
   end{aligned}$

Latihan Soal

1. $displaystylelim_{xto-5}frac{sin 2x+10}{tan 5x+25}$
2. $displaystylelim_{xtopi}frac{tan (3x}{sin 2x}$
3. $displaystylelim_{xto3}frac{x^2-9}{tan (x-3)}$

Selamat Belajar!