Warning: include_once(/var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-phase1.php): failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp/wp-content/advanced-cache.php on line 22

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-phase1.php' for inclusion (include_path='.:/opt/php74') in /var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp/wp-content/advanced-cache.php on line 22

Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp/wp-content/advanced-cache.php:22) in /var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp/wp-content/plugins/wp-editormd/src/Main.php on line 113

Warning: include(/var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php): failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 115

Warning: include(): Failed opening '/var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-base.php' for inclusion (include_path='.:/opt/php74') in /var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 115

Warning: include_once(/var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php): failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 138

Warning: include_once(): Failed opening '/var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp-content/plugins/wp-super-cache/ossdl-cdn.php' for inclusion (include_path='.:/opt/php74') in /var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache.php on line 138

Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp/wp-content/advanced-cache.php:22) in /var/www/nurkholis/data/www/nurkholis.web.id/wp/wp-content/plugins/wp-super-cache/wp-cache-phase2.php on line 1539
Limit Tak Hingga ~ Matematika SMA | Catatan Nurkholis

Limit Tak Hingga ~ Matematika SMA

Pernahkah kita memikirkan, bagaimana jika seandainya sepotong roti dibagikan kepada seluruh penduduk di dunia? Seberapa besar potongan roti yang kita dapat? Cukup kecil, bahkan sangat kecil, bisa juga kita menganggapnya hampir tak ada potongan roti yang kita dapat. Bagaimana jika seandainya penduduk bumi ini ada takhingga jumlahnya? seberapa besar potongan roti yang kita terima? Nah, hal ini bisa kita pelajari lebih lanjut pada bahasan kali ini.

Rumus Dasar

Berawal dari bentuk $displaystylefrac{1}{x}$
Kita tahu bahwa saat nilai $x$ sangat besar, mengakibatkan $displaystylefrac{1}{x}$ menjadi sangat kecil. Untuk $xtoinfty$ mengakibatkan $displaystylefrac{1}{x}to0$. Sehingga $$displaystylelim_{xtoinfty}frac{1}{x}=0$$.
Rumus tersebut dapat dikembangkan menjadi rumus-rumus berikut:

  1. $displaystylelim_{xtoinfty}frac{a}{x^n}=0$ untuk $n$ bilangan asli.
  2. $displaystylelim_{xtoinfty}frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+cdots+b_1x+b_0}$ menghasilkan:
    • $infty$ jika $n>m$
    • $displaystylefrac{a_n}{b_m} jika $n=m$
    • $0$ jika $n<m$
  3. $displaystylelim_{xtoinfty}left(sqrt{f(x)}-sqrt{g(x)}right)$ nilainya dapat ditentukan dengan mengalikan dengan sekawannya $displaystyleleft(frac{sqrt{f(x)}+sqrt{g(x)}}{sqrt{f(x)}+sqrt{g(x)}}right)$ sehingga diperoleh bentuk pecahan dari limit tersebut (dan dapat digunakan rumus no 2 untuk menyelesaikannya)

Contoh

Tentukanlah nilai dari limit-limit berikut:

  1. $displaystylelim_{xtoinfty}frac{4x^2-7x+6}{6x^2-9x+15}$
  2. $displaystylelim_{xtoinfty}sqrt{4x^2-5x+9}-sqrt{4x^2+8x-16}$

Solusi

  1. $displaystylebegin{aligned}lim_{xtoinfty}frac{4x^2-7x+6}{6x^2-9x+15}&=frac{(4x^2-7x+6)div x^2}{(6x^2-9x+15)div x^2}\&=lim_{xtoinfty}frac{4-frac{7}{x}+frac{6}{x^2}}{6-frac{9}{x}+frac{15}{x^2}}\&=frac{4-frac{7}{infty}+frac{6}{infty^2}}{6-frac{9}{infty}+frac{15}{infty^2}}\&=frac{4-0+0}{6-0+0}\&=frac{4}{6}=frac{2}{3}end{aligned}$
  2. $displaystyle
    begin{aligned}&; lim_{xtoinfty}sqrt{4x^2-5x+9}-sqrt{4x^2+8x-16}\
    &=lim_{xtoinfty}left(sqrt{4x^2-5x+9}-sqrt{4x^2+8x-16}right)left(frac{sqrt{4x^2-5x+9}+sqrt{4x^2+8x-16}}{sqrt{4x^2-5x+9}+sqrt{4x^2+8x-16}}right)\
     &=lim_{xtoinfty}frac{(4x^2-5x+9)-(4x^2+8x-16)}{sqrt{4x^2-5x+9}+sqrt{4x^2+8x-16}}\
    &=lim_{xtoinfty}frac{(-13x+25)}{sqrt{4x^2-5x+9}+sqrt{4x^2+8x-16}}\
    &=lim_{xtoinfty}frac{(-13x+25)div x}{left(sqrt{4x^2-5x+9}+sqrt{4x^2+8x-16}right)div x}\
    &=frac{-13+frac{25}{x}}{left(sqrt{4x^2-5x+9}-sqrt{4x^2+8x-16}right)div sqrt{x^2}}\
    &=frac{-13+frac{25}{x}}{left(sqrt{4-frac{5}{x}+frac{9}{x^2}}+sqrt{4+frac{8}{x}-frac{16}{x^2}}right)}\
    &=frac{-13+frac{25}{infty}}{sqrt{4-frac{5}{infty}+frac{9}{infty^2}}+sqrt{4+frac{8}{infty}-frac{16}{infty^2}}}\
     &=frac{-13+0}{sqrt{4-0+0}+sqrt{4+0-0}}\ &=frac{-13}{2sqrt{4}}\
    &=frac{-13}{4}
     end{aligned}$

Latihan Soal

Nah, selanjutnya silakan coba soal-soal berikut:

  1. $displaystyle  lim_{xtoinfty}frac{7}{x^9}$
  2. $displaystyle  lim_{xtoinfty}frac{3x^3-7x^2+6x-8}{4x^4+7x^2-9}$
  3. $displaystyle lim_{xtoinfty}frac{sqrt{5x+4}-sqrt{3x+9}}{4x}$
  4. $displaystyle lim_{xtoinfty}sqrt{36x^2-7x+26} – sqrt{36x^2+13x+9}$
  5. $displaystyle  lim_{xtoinfty}sqrt{25x^2-9x-166) – 5x+3}$

Selamat belajar!

Tinggalkan komentar

%d blogger menyukai ini: