Mencari Luas Segiempat Talibusur Menggunakan Rumus Brahmagupta

Rumus Umum

Jika diketahui segiempat talibusur memiliki sisi-sisi $a$, $b$, $c$, dan $d$ serta setengah keliling $s$, maka luas segiempat tali busur $K$ dapat dinyatakan dengan
$$K^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d)$$

Bukti

Salah satu metode sederhana untuk membuktikannya adalah dengan memanfaatkan trigonometri. Misalkan dalam segiempat talibusur $abcd$ (Lihat ilustrasi berikut), $E$ merupakan titik sudut antara $a$ dan $b$, $F$, merupakan titik sudut antara $c$ dengan $d$, dan $n$ merupakan diagonal yang menghubungkan kedua sudut yang lain.

Karena $E+F=180^{circ}$, diperoleh:
$\cos F = -\cos E$ dan $\sin F = \sin E$
Dengan menggunakan Aturan Cosinus,
$$n^2=a^2+b^2 – 2ab\cos F=c^2+d^2-2cd\cos E$$
diperoleh:

\begin{eqnarray}
a^2+b^2-c^2-d^2 =2(ab+cd)\cos E \qquad(1)
\end{eqnarray}

Perhatikan pula bahwa Luas segiempat talibusur:
$$ K = \frac{1}{2}ab\sin E + \frac{1}{2}cd\sin F = \frac{1}{2}(ab+cd)\sin E$$,
dari sini kita juga memperoleh:
$$2(ab+cd) = 4K \qquad (2)$$
Dengan mengkuadratkan $(1)$ dan $(2)$ kemudian dijumlahkan, akan diperoleh

$$4(ab+cd)^2(\cos^2E+\sin^2E) = 4(ab+cd)^2 = (a^2+b^2-c^2-d^2)^2 + 16K^2$$

yang dapat disederhanakan menjadi

$$16K^2= 4(ab+cd)^2 – (a^2+b^2-c^2-d^2)^2$$

Tentunya kita sudah tahu bahwa $A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)$. Dengan mengaplikasikan identitas ini berkali-kali akan diperoleh:

\begin{eqnarray*}
16K^2&=&2(ab+2cd)^2 – (a^2+b^2-c^2-d^2)^2\\
&=&\left [2ab+2cd – (a^2+b^2-c^2-d^2) \right ]\times \left [2ab + 2cd + (a^2+b^2-c^2-d^2)\right ]\\
&=&\left [c^2+2cd+d^2-a^2+2ab-b^2\right ]\times \left [a^2+2ab+b^2-c^2+2cd-d^2\right ]\\
&=&\left [(c+d)^2 – (a+b)^2\right ]\times \left [(a+b)^2 – (c+d)^2 \right ]\\
&=&\left [(c+d-a+b)(a+d+a-b)\right ]\times \left [(a+b-c+d)(a+b+c-d)\right ]\\
&=&(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2d)
\end{eqnarray*}

Dimana $2s=a+b+c+d$. Bagi dengan 16, kemudian ambil akar kuadrat dari masing-masing ruas diperoleh :

$$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$$

Bentuk spesial rumus ini adalah saat $d=0$ yang mengakibatkan segiempat talibusur ini merupakan suatu segitiga yang memiliki sisi-sisi $a$, $b$, $c$, dan setengah keliling $s$, dengan luas:
$$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ yang terkenal dengan nama Rumus Heron.

Rumus Brahmagupta sendiri dapat diperluas untuk segiempat yang bukan merupakan segiempat talibusur

$$K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos\theta}$$

di mana $\theta$ merupakan jumlah dua buah sudut yang berlawanan. Pada segiempat talibusur, karena jumlah kedua sudut yang berlawanan $= 180^{\circ}$, maka $\cos\theta = \cos 90^{circ}=0$.

Referensi

1. J. L. Coolidge, “A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral”, American Mathematical Monthly, 46(1939) pp. 345-347.
2. H.S.M. Coxeter, Geometry Revisited,The Mathematical Association of America, 1967,New York
3. Wikipedia – ree encyclopedia : Brahmagupta’s Formula
4. MathWorld: Brahmagupta’s formula

Brahmagupta,Heron,Segiempat talibusur,segitiga,Geometri