Jika diketahui $B_n$ merupakan bilangan yang terdiri dari angka 1 sebanyak $n$. Misal $B_3=111$, $B_7=1111111$. Tentukan nilai dari
$$lim_{ntoinfty} sum_{k=1}^n frac{B_k}{10^n}$$
Solusi:
Perhatikan bahwa $displaystyle B_k=111…111 = frac{10^k-1}{9}$
sehingga:
$$
begin{aligned}
lim_{ntoinfty} sum_{k=1}^n frac{B_k}{10^n} & = lim_{ntoinfty} sum_{k=1}^n frac{10^k-1}{9cdot10^n}\
&= lim_{ntoinfty} frac{1}{9}left(sum_{k=1}^n frac{10^k}{10^n}-sum_{k=1}^n frac{1}{10^n}right)\
&= lim_{ntoinfty} frac{1}{9}left(sum_{k=1}^n frac{1}{10^{n-k}}- frac{n}{10^n}right)\
&= lim_{ntoinfty} frac{1}{9}left(sum_{m=0}^n frac{1}{10^{m}}- frac{n}{10^n}right)\
&= lim_{ntoinfty} frac{1}{9}left(frac{1left(1-frac{1}{10^n}right)}{1-frac{1}{10}}- frac{n}{10^n}right)\
&=frac{1}{9}cdotfrac{10}{9}-lim_{ntoinfty}frac{n}{9cdot10^n}\
&=frac{10}{81}
end{aligned}
$$